Tentukan lim_(x→1^+)⁡ x^(1/(x-1))=⋯

www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika   »   Limit   ›  

Tentukan \( \displaystyle \lim_{x\to 1^+} \ x^{1/(x-1)} \).

  1. 3e
  2. 2e
  3. e
  4. 1/e
  5. 2/e

Pembahasan:

Misalkan \( \displaystyle \lim_{x\to 1^+} \ x^{1/(x-1)} = y \) sehingga dengan memberikan logaritma natural (ln) pada kedua ruasnya diperoleh berikut:

\begin{aligned} \ln \left( \lim_{x\to 1^+} \ x^{1/(x-1)} \right) &= \ln y \\[8pt] \lim_{x\to 1^+} \ln x^{1/(x-1)} &= \ln y \\[8pt] \lim_{x\to 1^+} \ \frac{\ln x}{x-1} &= \ln y \\[8pt] \lim_{x\to 1^+} \ \frac{1/x}{1} &= \ln y \\[8pt] \frac{1/1}{1} &= \ln y \Rightarrow \ln y = 1 \end{aligned}

Selanjutnya, dengan eksponensialkan kedua ruas, kita dapatkan hasil berikut:

\begin{aligned} \ln y = 1 &\Leftrightarrow e^{\ln y} = e^1 \\[8pt] &\Leftrightarrow y = e \end{aligned}

Dengan demikian, karena \( \displaystyle y = \lim_{x\to 1^+} \ x^{1/(x-1)} \), maka

\begin{aligned} \lim_{x\to 1^+} \ x^{1/(x-1)} = e \end{aligned}

Jawaban C.